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世界杯与数学

美丽的足球世界（之二）

上图所示为2018年俄罗斯第21届世界杯足球比赛指定用球。2017年11月9日，国际足联与阿迪达斯共同发布了本届赛事指定比赛用球为 "Telstar 18"，即“电视之星”，即上图所示。本届比赛两天后就要在俄罗斯拉开帷幕。借此时机，我也来凑凑热闹，介绍一下世界杯足球的设计与数学的关系。非常有趣。

其实，叫做”电视之星“的世界杯用球最早是这样的。

这个足球图案是1970年墨西哥世界杯启用的，它由阿迪达斯公司根据世界杯组委会的委托而精心设计的。这个足球取名为“电视之星”（TELSTAR），是因为那时第一次用电视进行转播，而那时的电视机是黑白的，那么这个黑白相间的足球就非常适合电视观看。后来历届世界杯专用足球，很多都是在这个基础上演变而来的。而今年的第21届世界杯比赛用球延用了”电视之星“之名，我猜想，可能是因为本届世界杯用球与这个最常用的现代足球，在外观颜色上很相似，比如都是黑白相间，都有12个黑色块。但其实深入研究，就会发现，它们的外形结构从数学上考虑是有很大不同的。

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我于2016年1月30日曾发送过一篇有关足球的文章，介绍了黑白相间的现代足球是怎么设计出来的。我猜想，阿迪达斯（adidas）公司一定是聘请了懂数学的高人或团队来进行设计的。就是下面这个链接，可以点它，看后，再返回到这里继续读这篇文章。

为什么足球是这个样子？

那篇文章给出了由12个黑色正五边形和20个白色正六边形构成的现代足球的数学原形——截角二十面体，它是十三种阿基米德立体中的一种，您可以链接我的这篇文章：阿基米德立体（系列之一）进行阅读。

两年前，我写过一篇文章，介绍了世界杯比赛用球外观的变化，分析了2006年德国世界杯用球”团队之星“外观的数学结构。两年多过去了，有几千位新朋友关注了我的这个公众号，这些新朋友一定没有读到过那篇文章，所以，我想，借此2018年世界杯即将开赛之际，再在这里呈献给大家。然后，本篇内容的最后，我再来讲一讲本次世界杯比赛用球的数学结构。

不打算介绍每一届世界杯专用足球的样子了，网上都可以找得到。只给出历届世界杯用球的汇总（下图），可以明显看出足球在外观方面一直在不断改进。毕竟是世界体育运动中第一大球类运动。另外，各种杯赛，比如欧洲杯、美洲杯，亚洲杯，非洲杯等大的足球赛事，也用过很多不同外观的足球。

（本篇内容中很多图片来自百度Baidu，在此表示衷心感谢！）

我的着眼点是数学，是挖掘足球中蕴藏的数学之美。

下面先给出几张图片，先让您欣赏一下美丽丰富的足球世界。第一个是2006年德国世界杯专用足球：“团队之星”。我猜想，它寓意着“德国战车”严谨的团队精神，与德国的哲学和交响乐一脉相承。如下图所示。

下面这个是2010年南非世界杯用球，名叫“普天同庆”。

下面这个是2014年巴西世界杯用球，名叫“桑巴荣耀”。

看到这些美丽的足球，我都想每种收藏一个，哪还舍得用脚踢 ！

梅西必须是要踢的！你看下图中，梅西手里拿着足球，他一定非常喜欢足球。谁会想到，这位伟大的球星，小时候曾患有侏儒症。西班牙的球队请他去踢球，当时有很多人反对，但后来事实证明，那些坚持聘用他的人是对的！

回到数学。那么，2006年世界杯用球，与数学到底有什么关系呢？我做了一些研究，分享给大家。

我们知道，1970年启用的黑白相间的足球，是由12块正五边形黑色皮革和20块正六边形白色皮革缝制而成的，共32块。而上图中的“团队之星”，没有了正五边形也没有了正六边形。那么，上面的图案是怎么得来的呢？我们仔细想一下，这些看上去像数字“8”，"脚印”，“鞋垫”，“游泳镜”，或无穷符号“∞”的金色图案是怎么得来的呢？它们与黑白足球有没有什么联系吗？好的，那我们把两种足球放在一起比较一下吧。如下图所示。

观察上面两种足球。右图是经典的现代足球，它一共有12个黑色正五边形。左图每个"脚印"（我觉得”8“字和无穷”∞“数学味最浓，但我下文中还是用”脚印“来称呼这个形状吧，因为足球么，是用脚踢的），正好相当于覆盖“了右图中的两个黑色正五边形及中间的缝隙。六个“脚印”正好就覆盖了12个正五边形。如下图所示。

“团队之星”的这6个“脚印”中，只要是相邻的“脚印”，就是互相垂直的，而不相邻的“脚印”就互相平行。6个“脚印”，每两个为一组，可以分成三组，每组中的两个“脚印”方向一致，不相邻，位于球面相对的两侧，是镜面对称的。如果把每个“脚印”简化成一个线段，那么，每组的两条线段位于同一个平面上，互相平行，且关于某个平面对称。这样的话，三组“脚印”可以确定三个平面，这三个平面两两互相垂直。正像空间直角坐标系中的三个坐标平面：xy平面，yz平面，zx平面。如下图所示。

经典黑白足球中12个黑色正五边形的地位都是一样的，每三个正五边形处于一个正三角形的顶点处（这是当然的，因为足球原形是截角二十面体，是对正二十面体进行截角，而正二十面体正是由20个正三角形面围成的）。所以，”团队之星“也自然具有这种性质。如下图所示。

这六个"脚印"本身既是中心对称图形，又是轴对称图形。它们在“团队之星”上的地位是等价的。也就是说，“团队之星”足球是空间对称的。我们可以让足球绕着球心旋转，那么，某个“脚印”所在的位置处，其他五个“脚印”也可以占据，这样形成一个轮换，但看上去的效果就好像没有转动过。这就是一种很完美的对称（涉及到对称群的知识，本公众号中也有介绍）。“团队之星”这种完美的对称性当然是来自“电视之星”的完美对称性。而”电视之星“的完美对称性则来自于13种阿基米德立体之一的“截角二十面体”。把数学上阿基米德立体中的“截角二十面体”应用于足球，真的一件很伟大的事情。四年一届的世界杯是全球球迷的盛事，足球的样子总不能一成不变，而根据“截角二十面体”设计出来的黑白相间足球，使得足球外观的设计可以产生极为丰富的变化。数学有很大的贡献！

本期内容有些多，因为想到了，就想说出来。请耐心阅读！谢谢！

在黑白足球”电视之星“中，与每个正五边形相邻的正五边形有五个，这六个正五边形一起，总是可以处于足球的某半球上。下图右图中，1号正五边形周围有2，3，4，5，6号五个正五边形。若把1号五边形比作地球北极的话，那么，1，2，3，4，5，6号六个正五边形就一定都位于北半球。而另外六个正五边形就一定位于南半球。

这六个黑色正五边形中，哪两个可以连成“脚印”，哪两个不行，是有规律的，而不是任意的。一定是有某两个互相垂直的“脚印”（比如上图中是红色和绿色）各“脚踩”两个黑色正五边形，这样就占据了四个黑色正五边形（上图中1号和2号；4号和5号），还剩下两个黑色正五边形（3号和6号），它们分别是另外两个不同方向的“脚印”（上图中是蓝色）的一半。这里，1号与2号连成了一个“脚印”，那么，跟着的一定是4号与5号连成“脚印”，不可能是3号和4号或者5号和6号连成“脚印”。上图右图中，也可以是1号与6号连成一个“脚印”，那么，必然是3号和4号连成一个“脚印”。你随便在“团队之星”足球上找到位于半球内”脚印“，那么它们之间的关系一定都是这样的。

下图中，我们给足球增加了空间直角坐标系，坐标原点位于球心。那么，六个“脚印”的位置一目了然。我们还画出了球面与坐标面的部分交线（黄色的）。这样我们就得到了球面在第一卦限内的那部分（是个球面三角形）。

这个球面三角形中，都出现了三个“脚印”的一部分（四分之一），我们不管它们，只考虑去掉这三部分后剩余的部分。这部分是一整块皮革制成（当然留出缝线或粘胶用的边是应该的）。如下图所示。

“团队之星”足球一共有八块这种形状（其中四块一样，另外四块是镜像对称的）的皮革。加上六块“脚印”，一共是14块皮革。这个块数已经比黑白相间的那种足球所用皮革块数（32块）少了18块了。能够设计得让块数尽量少，是一种更高的设计水平，也要求更高的制作工艺。并且，上面所说的每块皮革，在制造时已经制成曲面了，而不是平面的。所以，”团队之星“更圆。

我在本文中，是把2006年德国世界杯用球归功于数学上阿基米德立体中的“截角二十面体”，但我只是从外观上进行的研究。如果从皮革的数量上来研究的话，显然，“团队之星”（14块）与”电视之星“（32块）是完全不同的。从皮革数量以及每块皮革在足球上位置来看，“团队之星”应该是与阿基米德立体中的”截角八面体“对应的。观察下图，是不是可以看出来？从位置上来说，6个”脚印“分别对应于下图中浅绿色的面，而另外8块白色皮革对应于8个深绿色的正六边形面。

本期内容有些多，涉及很多数学内容。本期中有关2006年世界杯足球的“脚印“与黑白足球上的黑色正五边形之间的关系，是我本人观察所得，是我本人的独创。我是在观察各种足球图片想像出来的。我后来特意从网上购买了一个黑白足球，对我的观察结果与上面所做的研究进行了验证，是对的。下图就我购买的足球。

最后，我要说一说本届世界杯也被叫做“电视之星”的比赛用球的数学结构。

它是由六块相同的皮革制成。每块的样子如下图所示。

在足球上，这个图案在什么地方呢？请见下图，我给划分了出来。

它是由四个大写字母“F”拼成的中心对称图形。F表示 “ Football ”。你在上图中找到这四个“F”了吗？下面我称这个图形为“4F”图形。

我们知道，正方体有六个正方形面。两两相对，共三对。再来看一看这个新足球的球面。上图中红色边缘的“4F”图形正对着我们，足球的左边侧面和右边侧面各有一个这样的图形，上、下底面也各有一个，它的背面还有一个。一共六个。这六个的位置与正方体的六个面暗合。所以说，本届世界杯用球外观的数学原形就是简单的正方体。

每块“4F”图形皮革上都有四小部分被涂以黑色（我没有研究清楚是什么意思），它们都是直角梯形的样子，其中有两个的斜腰是锯齿形的。在把六块“4F”皮革拼成球面后，相邻的两块在相邻处各贡献出一个梯形互相交叉，看上去像是一块黑色的六边形。所以，它看上去像是一共有12个黑色块。这12个黑色六边形就好像“跨”在正方体12条棱上。上图中是正对着我们的4个黑色块，图中还可以隐约看到另外4个黑色块。球的背面应该还有4个。一共是12个。

12这个数量与现代足球上黑色正五边形面的数量12是相等的。所以，两种足球有相似之处。