作者：Evelyn Lamb

翻译：山寺小沙弥

审校：Propagator

克雷格·卡普兰用硬纸板和透明胶带制造出类似于富勒球或者足球的“类球体”，这样的球体非常漂亮。它由4个正十二边形、12个正十边形、28个正三角形组成，这些三角形是空白区域，也就是没有硬纸板的区域。但是，我们不能被表象所迷惑，其实这样的“类球体”是不存在的。这些多边形并不会在顶点的位置重合，也就是说，这样的美好想法是不可能实现的。

卡普兰的模型只有当你把硬纸板换成纸的时候才有可能实现。由于纸比较软，所以这些多边形容易发生扭曲从而实现上述“类球体”。加拿大滑铁卢大学的计算机科学家卡普兰表示：“由于只有使用纸的时候才会出现容差系数（也就是纸发生扭曲），这意味着我们想象中的那个美丽的球体是不存在的。”

卡普兰做的模型

这是美国数学家诺曼·约翰逊在二十世纪六十年代偶然发现的一类数学对象中的一个例子。约翰逊正在努力完成柏拉图二千多年前的一项工作：对多面体进行分类。在种类繁多的多面体中，只有五种可以由同一种正多边形组成：正四面体，立方体，正八面体，正十二面体和正二十面体。如果将多种多边形组合在一起，那么我们又会得到13种多面体，这些多边形组合之后能形成封闭的多面体。这十三种多面体我们称之为阿基米德多面体，或者棱柱（两个完全相同的正多边形通过矩形连接而成）和反棱柱（由两个相同的多边形平行基底和侧面的三角形所组成的一个多面体）。

1996年，约翰逊在密歇根州立大学发现了一类多面体，它们可以由普通的多边形构成，这类多面体共有92种，称之为“约翰逊多面体”。这样，约翰逊穷尽了所有可能性，不久之后，来自列宁格勒州立大学的俄罗斯数学家证明了约翰逊的研究。也就是说，除了约翰逊给出的那些多面体的类型之外，不存在其他由规则多边形构成的封闭多面体。

然而在约翰逊完成多面体的分类之后，他注意到了一些奇怪的事情。他用纸板和橡皮筋建立实体模型，用此验证他的研究。由于他的结论中多面体的种类较少，所以他希望他能尽快发现新的可能性。

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可是任他怎么组合，新的可能性并没有出现，所有他搭建出来的模型的种类都在他的研究结论中。“虽然这不是显而易见的，但是当你组装一堆多边形，使他们构成多面体后，多面体的种类并不会超出我的结论。”约翰逊回忆到。

它们似乎是令人拍案叫绝的解决方案，但最终都被证明是不可能的

一个模型看似可以很好的结合在一起，但是“如果你做些计算，你就会发现这样的模型其实是不存在的”，约翰逊说到。进行进一步的检查之后，也许正方形不再是正方形，或者一个面不再是二维平面。如果你修剪了这些面，也许它们会结合得很好，但是它们构成的形体已经不再是规则多面体了。

在试图搭建出多面体的过程中，约翰逊并没有把太多的精力放在那些近似多面体中。“我把他们放在一边，集中精力研究那些真正可行的方案”，他说道。但是，这些近似完美的多面体不仅仅吸引了卡普兰和其他数学爱好者的兴趣，现在更是成为了近似完美数学的重要组成部分。

关于近似差错还没有精确的定义，也不可能存在定义，在这个摇摆不定的现实世界中，一条硬性的规定并没有意义。目前，卡普兰在寻找新的拟约翰逊多面体时，依赖于一条经验法则：多面体中固有的真实的、数学上的错误可以与现实世界中的你并不十分完美的手工制作与不完美的材料相比较。换句话说，如果你可以“成功地”搭建一个不可能存在的多面体，那么它就是一个近似差错的例子。在数学中，如果某件事可以使你感到惊讶并误导你，那么它可能就是一个近似差错的例子，它就像数学和我们开玩笑，闹恶作剧。（注：译文中的“近似差错”与原文中的“near miss”相对应，表达的是某个方案非常接近某个结论或者结果，但该方案又是错的。由于译者和审稿者查阅了很多资料都没有找到更好的中文表达方式，故用“近似差错”译之。）

数学中的一些近似差错，如前面提到的近似完美的多面体，它们不仅仅好玩，而且对数学和物理学也有深刻的意义。

在一些古老的案例中，如利用卷尺测量圆的周长，倍立方问题（用尺规作图的方法作出一立方体的棱长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍），这些问题都涉及到近似差错。这些方法令人拍案叫绝，可遗憾的是，经过证明，它们都无法解决问题。它们就好像一个看似闭合的圆一样，始终都有缺憾。达芬奇曾通过尺规作图的方法，在一个圆里画出了所谓的“正五边形”，人们惊叹于达芬奇的聪明才智，但不得不遗憾的说，他的这种作图方法是无法获得正五边形的。

达芬奇手稿

接下来，让我们来看看“失踪的方块拼图”。如图所示，把一个直角三角形分成四部分，然后将它们重新组合之后，我们会发现新的图案中出现了一个空白区域。这个空白区域是从哪里来的呢？这也是一种近似差错，其实这个图案本来就不是三角形，只是它太像三角形了，所以瞒过了我们的眼睛。细心的读者可以看看，此时的斜边不是一条线段，它在某处发生了突变，蓝色三角形斜边的斜率是0.4，红色三角形斜边的斜率是0.375，由于两条线段的斜率相差不大，所以引起了我们的错觉。

失踪的方块拼图

在日常生活中，一些数字的组合也可能引起近似差错。例如，27/12和3/2几乎相等，这么一个数字上的近似也许是日常生活中最有用的一个近似差错了。这也是为什么钢琴上一个八度音程包含着12个琴键的原因，同时也是西方音乐里平均律的基础。这种近似使得两个最重要的音程——八度音（频率比为2:1）和五度音（频率比为3:2）达成了妥协，而如果要将八度音分为完美的五度音阶在数值上是不可能的。但是，我们可以将一个八度音程等分成12个半音，其第七个音的频率比为1.498（译注：即27/12，与五度相升律的纯五度音的频率比1.5很接近），这样对大多数人来说已经足够完美了。

钢琴琴键

在数学领域中，有时候也会出现近似差错，当它出现的时候，就好像数学和自己开了一个玩笑。例如，系列短片“辛普森一家的恐怖树屋（六）”中出现的剧情，对数字敏感的观众可能看到了一个令人惊讶的方程：178212+184112=192212，编剧似乎推翻了费马大定理（当整数n >2时，关于x, y, z的方程 xn + yn = zn 没有正整数解），如果你用便携式计算器验证这个等式，你会发现这个等式是成立的（小编亲测，手机的计算器算出来是不相等的，打脸速度飞快）。但是，如果你用计算精度更高计算器进行计算，你会发现等式的左边开12次方根后，得到的数值是1,921.999999955867…，而不是1922，所以费马的棺材板还是牢牢地按住了。这也是一个令人吃惊的近似差错，误差不足千万分之一。

“辛普森一家的恐怖树屋”宣传海报

然而，近似差错不仅仅是玩笑那么简单。加州大学河滨分校的数学家约翰•贝兹说: “那些吸引我的近似差错可能是挖掘某个数学理论的线索。”拉马努金常数就是一个例子。这个常数的表达式是： eπ √163，它的数值为262,537,412,640,768,743. 99999999999925，非常接近整数。从直观上来看，由于构成这个常数的三个组成部分e，π，√163都是无理数，所以我们很难想象它们通过某种方式组合起来能派生出一个有理数，更何况是一个整数呢？但这个常数之所以很接近整数是有原因的。贝兹说: “其实这并不是巧合，我们是可以理解这样的情况的。它是一条通往某个数学理论的线索。”具体的解释太过复杂，但是163这个数比较特殊，它是一个Heegner数，当Heegner数出现在以e为底数的指数函数的指数部分时（eHeegner数），这个指数函数的数值便非常接近整数。

我们再来看看大名鼎鼎的“魔群月光猜想”。故事是这样的，在1978年的时候，数学家约翰·麦凯做了一个琐碎又奇特的观察：196884 = 196883 + 1，第一个数字196884，和j不变量有关，而196883和魔群有关。大多数人对这些可能并不在意，但是这样的拆分引起了数学家们的关注，他们都希望能进一步了解两者之间的关系。他们发现了两个看似无关主题之间的联系：数论和魔群的对称性之间的联系。这些联系可能对其他理论有深刻的影响。物理学家爱德华·威腾认为，魔群可能与量子引力和时空的深层结构有关。

数学中的近似差错表现了人类在数学研究中出现的一种有趣同时又能推动人类发展的美丽错误。约翰逊、卡普兰等人通过实践的方法开展他们的研究，这和生物学家很相似，他们有时候会步履艰难地穿梭于热带雨林中，寻找新的物种。但是，数学家们会相对轻松点，因为他们可以较为系统地搜集这些近似差错。例如，数学爱好者吉姆·麦克尔尼，他就在自己的网站上搜集一些网友们提供的近似差错；计算机程序员罗伯特·韦伯，开发专门用于研究多面体的软件。

近似差错经常“混迹于”现实与理想之间，通过感官欺骗我们，它们会“颠倒黑白”，使原本错的结论变得似乎是正确的。通常，真实的世界是柏拉图理想国中的影子。在将某些结论付诸实践的时候，基础数学失去了它的完美性。卡普兰说，近似是 “对正确答案的不正确的估计”，而 “近似差错是一个几乎正确的答案的精确表示”。

通过这种方式，近似差错改变了数学家和数学物理学家与自然世界的关系。卡普兰说：“我很感激现实世界的不完美, 因为它让我能够实现“准完美境界”的目标，我知道这些结论本质上并不完善。正是现实中破碎而又充满美感的那部分，使我克服现实的局限性。”

原文链接：

http://nautil.us/issue/49/the-absurd/the-impossible-mathematics-of-the-real-world

来源：中科院物理所